Die Fotografie der Wünsche

Vilfredo Pareto und die Grundlagen der Haushaltstheorie

Ein kritischer Denker, ein Pazifist und ein genialer Ökonom, das war Vilfredo Pareto. Er begründete nicht nur die Ökonometrie. Er revolutionierte auch die Nutzentheorie. Diese fußt bei ihm gerade nicht auf dem Konzept des Nutzens, sondern auf den Präferenzen der Menschen. Das Problem der verzwickten Nutzenmessung umging er damit elegant. Ein Paderborner Volkswirtschaftler beschreibt das Leben Paretos, seine Denkweise und die Grundlagen der Haushaltstheorie. Mehr noch: Er gibt euch auch die Möglichkeit, ein Nutzengebirge interaktiv selbst zu entwickeln. 

Von Professor Dr. Winfried Reiß, Universität Paderborn

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Um die Denkweise des Ökonomen Vilfredo Pareto zu verstehen, muss man sein Leben kennen: Vilfredo Pareto, Sohn eines italienischen Adligen und einer Französin, wurde 1848 im Pariser Exil geboren. Sein Vater, ein Ingenieur, kehrte Anfang der 1850er Jahre mit seiner Familie nach Italien zurück. Pareto erhielt am Polytechnikum zu Turin ebenfalls eine Ingenieursausbildung und trat zunächst in den Dienst der Eisenbahn. Später wechselte er zur Schwerindustrie und ging 1890 als Direktor der Ferriere Italiane in der Toskana in den Ruhestand.

Der liberale Pazifist

Politisch gehörte er zu den Liberalen. Seiner Meinung nach konnte folglich nur der Freihandel in einem Land Frieden und Wohlstand schaffen und letztendlich auch erhalten. Waffen lehnte er weitgehend ab, stattdessen forderte er „etwas mehr Gerechtigkeit" (Pareto zitiert nach [Bousquet 1971, S. 407]) - denn während die Landbesitzer, wie etwa die Reisfeldbesitzer in der italienischen Poebene, jederzeit auf staatliche Subventionen hoffen durften, schoss das Militär auf demonstrierende, arme Landarbeiter.

Pareto sah als Folge der ständigen Verstöße gegen die Ideen des Freihandels folgendes Ende für das Bürgertum: „Die Stunde der Sühne wird am Ende für die herrschenden Klassen schlagen. Langsam aber sicher wird die sozialistische Flut den europäischen Kontinent überschwemmen." (Pareto zitiert nach [Bousquet 1971, S. 407]). Seine liberalen und pazifistischen Ansichten brachten ihn oft in Konflikt mit der Regierung, die mitunter seine Vorlesungen und Vorträge sogar verbot. Seine Bemühungen, Abgeordneter zu werden, scheiterten, und so propagierte er seine Ideen in einer französischen Zeitung.

Faszination Mathematik

Pareto war ein leidenschaftlicher Leser antiker, klassischer Literatur und moderner, naturwissenschaftlicher Texte. 1890 stieß er auf die Werke von Maffeo Pantaleoni, dem führenden italienischen Wirtschaftswissenschaftler, und auf die von Walras. Sein Interesse für die mathematisch orientierte Wirtschaftswissenschaft war geweckt. Hierzu eine spätere Aussage Paretos:

„Oft ist die Rede von einer liberalen, christlichen, katholischen, sozialistischen etc. politischen Ökonomie. Vom wissenschaftlichen Standpunkt ist das unsinnig. Ein wissenschaftlicher Satz ist wahr oder falsch, er kann darüber hinaus keine andere Bedingung erfüllen, wie die, liberal oder sozialistisch zu sein. Die Gleichungen der Bewegung der Himmelskörper durch die Einführung einer katholischen oder atheistischen Kondition integrieren zu wollen, wäre reine Torheit." [Pareto 1975, S. 109]

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Ökonomische Gesetzmäßigkeiten erforschen

Pareto ging also davon aus, dass es in der Ökonomie wie in der Physik feste Gesetze gibt, die man erforschen kann, wie zum Beispiel „die Bewegung der Himmelskörper". 1893 übernahm er den Lehrstuhl von Walras in Lausanne. Zum 25. Jahrestag seiner Lehrtätigkeit rekapitulierte er in einem Vortrag seine Absichten: 

„Das Hauptziel meiner wissenschaftlichen Bemühungen war immer die Anwendung der experimentellen Methode, die in den Naturwissenschaften so glänzende Ergebnisse gezeitigt hat, auf die Sozialwissenschaften - von denen die Wirtschaftswissenschaften nur ein Teil sind." [Pareto 1975, S. 248].

Das ökonomische Gleichgewicht war das Grundthema seiner mathematisch orientierten Wirtschaftslehre. Außerdem sammelte er statistische Daten und interpretierte diese, um dadurch die Einkommensverteilung darstellen zu können. Er gilt damit als ein Begründer der Ökonometrie. Zu seinen bedeutendsten Hauptwerken zählen Cours d'économie politique (1896/97) und Manuale di economia politica (1906). 

Der Blick auf die Soziologie

Bei seiner Suche nach den objektiv vorhandenen Gesetzen, die der Wirtschaft zugrunde liegen, fielen ihm immer wieder menschliche Verhaltensweisen auf, die ihm vom ökonomischen Standpunkt aus als nicht logisch erschienen. Die Maßstäbe seines Fachgebietes reichten ihm nicht aus:

„Ich war auf einige ökonomische Probleme gestoßen, die ich keineswegs mit der Ökonomie allein lösen konnte. Außerdem bemerkte ich, dass ich bei dem Studium der Ökonomie mich vieler soziologischer Prinzipien bediente, die in der Luft hingen, solange sie nicht das Ergebnis einer experimentellen Untersuchung waren." [Pareto 1975, S. 404] 

So griff er immer häufiger auf soziologische Erkenntnisse zurück. Im Trattato di Sociologia generale (1916/23) kommt er zu dem Ergebnis, dass sich die Menschen ihren Trieben entsprechend verhalten und dem Handeln die Gedanken anpassen. Weiter glaubte er, dass eine Elite, die die Gesellschaft prägt, sich bald abnutzt und durch eine neue Elite aus unteren Schichten ersetzt wird. In Les systèmes socialistes (1902/03) kritisierte er die Einseitigkeit der auf Ursache und Wirkung hin ausgerichteten sozialistischen Geschichtsbetrachtung.

„Er versuchte, die Einseitigkeit der marxistischen Perspektive aufzuzeigen und jene Beziehung zwischen dem Ökonomischen und dem Sozialen, die Marx als Ursache-Wirkungs-Relation gesehen hatte, in Begriffen von Interdependenz und Interaktion mit anderen sozialen Faktoren zu lösen." (Mongardini in der Einleitung zu [Pareto 1975])

Pareto selbst blieb Zeit seines Lebens seinen liberalen Ansichten treu. Der Erste Weltkrieg bestärkte ihn in der Ansicht, dass ein Krieg zwischen den europäischen Mächten ein großes Unglück sei. Er starb 1923 in Céligny und hinterließ ein vielseitiges Lebenswerk, das von der Gleichgewichtstheorie und der Ökonometrie bis zur Soziologie reicht.

Das Problem der Nutzenmessung: Wie lässt sich Genuss messen?

„Die Volkswirtschaftslehre muss auf eine vollständige und genaue Untersuchung der Voraussetzungen des Nutzens gegründet werden; und um diesen Grundbegriff zu verstehen, müssen wir notwendigerweise die Bedürfnisse und Wünsche des Menschen prüfen." [Jevons, 1923]

Die auf diesen Auffassungen der Marginalisten wie Jevons fußende moderne Wirtschaftstheorie geht also im Unterschied zu den Klassikern vom Nutzenkonzept aus, sie hat dabei allerdings das Problem der Nutzenmessung. Schon ein Vorläufer der Marginalisten, nämlich Gossen, schreibt 1854:

„Zur wirklichen Darstellung ... wäre nun offenbar ein Messen der Größe des Genusses in jedem Zeitmomente erforderlich, eine Aufgabe, deren Lösung bis jetzt noch nicht gelungen, ja mit klar bewusstem Zweck vielleicht kaum einmal versucht worden ist." [Gossen 1967, S. 8]

Dieses Problem der Nutzenmessung ist inzwischen intensiv untersucht, eine allgemein überzeugende Methode aber bis heute nicht gefunden worden. 

Präferenzen statt Nutzen

Somit stellte sich für die Marginalisten folgendes Problem: Man hatte mit dem Nutzenkonzept einen neuen theoretischen Ansatz gefunden, der auch viele Probleme löste, vor denen die Klassik kapitulieren musste, dieser Ansatz ging aber von einer Größe aus, die nicht operationabel war.

Dieses Problem wurde von Pareto in überraschender Weise gelöst, indem er eine Nutzentheorie schuf, die nicht auf dem Konzept des Nutzens basierte. Um das besonders deutlich zu machen, verzichtete Pareto für seinen Gedankengang ganz auf den Ausdruck Nutzen und prägte einen neuen Ausdruck, nämlich den der „Ophelimität". Der Ausdruck der Ophelimität hat sich in der Ökonomie nicht durchgesetzt, weitgehend durchgesetzt hat sich jedoch der Ansatz von Pareto, eine Marginaltheorie zu schaffen, die nicht auf dem Konzept des Nutzens, sondern auf dem Konzept der Präferenz gegründet ist. Aus diesem Ansatz wird dann das Konzept der - wie Pareto es nennt - Ophelimität entwickelt, das in der modernen Theorie den Namen „ordinaler Nutzen" trägt und für den, wie wir sehen werden, keine Messbarkeit erforderlich ist. 

Besonders deutlich wird dieser neue Ansatz in einer Fußnote zum nachstehend wiedergegebenen Ausschnitt von Pareto:

„Dieser Ausdruck [der Indifferenzkurve] geht auf Professor Francis Y. Edgeworth zurück. Er setzt die Existenz von Nutzen (Ophelimität) voraus und leitet daraus Indifferenzkurven ab; ich hingegen sehe die Indifferenzkurven als gegeben an und leite daraus alles ab, was ich für die Gleichgewichtstheorie brauche, ohne dass ich von Ophelimität ausgehen muss." 

Diese grundlegenden Ausführungen von Pareto sind relativ knapp und sollen im Folgenden in unserer Übersetzung wiedergegeben werden.

Eine kurze Lektüre

Pareto: Die Indifferenzkurven der Wünsche (1906)

§ 52. Wir gehen von einem Mann aus, der sich nur durch seine Wünsche leiten lässt und der 1 kg Brot und 1 kg Wein besitzt. Seinen Wünschen entsprechend ist er bereit, ein bisschen weniger Brot und ein bisschen mehr Wein zu haben oder umgekehrt. Beispielsweise stimme er zu, nur 0,9 kg Brot, dafür aber 1,2 kg Wein zu haben. Dies bedeutet mit anderen Worten, dass die beiden Kombinationen 1 kg Brot und 1 kg Wein oder aber 0,9 kg Brot und 1,2 kg Wein für ihn gleich sind; er zieht weder das erste dem zweiten noch das zweite dem ersten vor; er weiß nicht, welches er wählen soll, er ist indifferent, die eine oder die andere dieser Kombinationen zu wählen. Beginnen wir bei der Kombination 1 kg Brot und 1 kg Wein, so können wir eine große Anzahl anderer Kombinationen finden, zwischen denen die Auswahl indifferent ist, beispielsweise haben wir

Brot      1,6   1,4   1,2   1,0   0,8   0,6

Wein    0,7   0,8   0,9   1,0   1,4   1,8

Diese Reihe, die man unendlich fortsetzen könnte, nennen wir eine Indifferenzreihe.

§ 53. Benutzen wir Zeichnungen, so erleichtert uns das das Verständnis dieser Zusammenhänge. Wir zeichnen zwei Achsen OA und OB, die senkrecht aufeinander stehen und tragen auf OA die Mengen an Brot und auf OB die Mengen an Wein ab. Oa bezeichnet z.B. eine Einheit Brot und Ob eine Einheit Wein. Der Punkt m, an dem sich die beiden Koordinaten schneiden, zeigt die Kombination 1 kg Brot und 1 kg Wein.

§ 54. In dieser Weise können wir die ganze obige Reihe darstellen und erhalten, indem wir die Punkte durch eine kontinuierliche Kurve verbinden, die Linie nms, die man INDIFFERENZLINIE oder INDIFFERENZKURVE nennt.^* 

§ 55. Jeder dieser Kombinationen ordnen wir einen Index zu, der die folgenden beiden Bedingungen erfüllt, ansonsten aber beliebig ist:

1. Zwei Kombinationen, zwischen denen die Wahl indifferent ist, müssen den gleichen Index haben.

2. Wird eine von zwei Kombinationen der anderen vorgezogen, so muss sie einen höheren Index haben.

(. . . ) In dieser Weise erhalten wir Indizes der Ophelimität, oder Indizes des Vergnügens, das das Individuum empfindet, wenn es eine Kombination mit gegebenem Index erhält.

§ 56. Aus dem Gesagten ergibt sich, dass alle Kombinationen einer Indifferenzreihe den gleichen Index und somit auch alle Punkte einer Indifferenzkurve den gleichen Index besitzen.

Die Kurve nms der Abbildung möge den Index 1 haben; m' (also z.B. 1,1 kg Brot und 1,1 kg Wein) sei eine andere Kombination, die das Individuum der Kombination m vorzieht; dieser geben wir den Index 1,1. Ausgehend von dieser Kombination m' finden wir eine andere Indifferenzserie, das heißt wir entwickeln eine neue Kurve n'm's'. In dieser Weise können wir fortfahren und dabei natürlich auch Kombinationen betrachten, die für das Individuum nicht nur besser, sondern auch schlechter als m sind. So bekommen wir verschiedene Indifferenzserien, jede mit ihrem Index; anders ausgedrückt, überdecken wir die betrachtete Fläche OAB mit einer unendlichen Anzahl von Indifferenzkurven, von denen jede ihren Index hat.

§ 57. Hierdurch bekommen wir eine Aufstellung der Wünsche des Individuums bezüglich Brot und Wein und das genügt, um ein ökonomisches Gleichgewicht zu bestimmen. Das Individuum kann sich entfernen, es muss uns nur die Photographie seiner Wünsche hinterlassen.

Natürlich kann das, was wir über Brot und Wein gesagt haben, für alle Güter wiederholt werden. 

§ 58. Derjenige Leser, der mit topographischen Karten gearbeitet hat, ist es gewohnt, gewisse Kurven zu zeichnen, die Punkte mit der gleichen Höhe über dem Meeresspiegel oder einem anderen Niveau repräsentieren.

Die Kurven der Abbildung sind Höhenlinien, wenn wir die Indizes der Ophelimität als Höhe der Punkte eines Hügels oberhalb der horizontal aufgefassten Fläche OAB ansehen. Er kann ein Hügel der Indizes des Vergnügens genannt werden. Es gibt unendlich viele ähnliche andere, abhängig von dem beliebig gewählten System der Indizes.

Wenn Vergnügen gemessen werden kann, wenn Ophelimität existiert, wird eines dieser Indexsysteme das der Ophelimität sein und der entsprechende Hügel wird der Hügel des Vergnügens oder Ophelimität sein. (. . . )

* Dieser Ausdruck geht auf Professor Francis Y. Edgeworth zurück. Er setzt die Existenz von Nutzen (Ophelimität) voraus und leitet daraus Indifferenzkurven ab; ich hingegen sehe die Indifferenzkurven als gegeben an und leite daraus alles ab, was ich für die Gleichgewichtstheorie brauche, ohne dass ich von Ophelimität ausgehen muss.

Quelle: [Pareto 1927, Kap. III, §§ 52-58], Übersetzung entnommen aus Reiß (2007, S. 222f)

Genial einfach: Die Theorie der Präferenzen

Der vorstehende Text von Pareto ist die Grundlage der ordinalen Haushaltstheorie, wie sie bis heute gilt. Pareto benutzt im Kern auch schon alle bis heute gemachten Annahmen, allerdings nicht so formal, wie ein heutiger Theoretiker sie aufstellen würde, an einigen Stellen muss man seinen Text und seine Zeichnung entsprechend interpretieren.

Untersuchen wir nämlich die Abbildung aus dem Text von Pareto und kombinieren wir sie mit seinen Ausführungen, so können wir folgende Ausgangspunkte ausmachen:

a. In § 52 geht er „von einem Mann aus, der sich nur durch seine Wünsche leiten lässt". Er kann Kombinationen von Brot und Wein daraufhin untersuchen, ob er indifferent ist, oder (mehr oder weniger implizit) ob er eine Kombination einer anderen vorzieht. Dabei unterstellt Pareto implizit, dass ein Individuum eine solche Einschätzung generell vornehmen kann. Das heißt: Individuen haben vollständige Präferenzen.

b. Bekommt ein Individuum mehr von allen Gütern, so präferiert es diese neue Kombination - da ergibt sich implizit aus § 56, da Pareto davon ausgeht, dass 1,1 Einheiten Brot und 1,1 Einheiten Wein besser sind, als eine Einheit von jedem der Güter. Das heißt: Es gilt die Nichtsättigung.

c. Zu diesen Präferenzen können, wie in der Abbildung dargestellt, Indifferenzkurven konstruiert werden. Die Punkte oberhalb einer solchen Indifferenzkurve (einschließlich der Kurve selbst) bezeichnet man in der modernen Theorie als „Besser-Menge" und entsprechend die Punkte unterhalb und auf der Kurve als „Schlechter-Menge". Beide Mengen sind abgeschlossen. Der obere Rand der „Schlechter-Menge" fällt zusammen mit dem unteren Rand der „Besser-Menge" und bildet die Indifferenzkurve. Das heißt: Es existieren Indifferenzkurven.

d. Auch wenn Pareto natürlich in seiner Abbildung nur einen Teil der Indifferenzkurven zeichnen kann, so sind sie offensichtlich so gewählt, dass sie sich auch außerhalb des dargestellten Bereichs nicht schneiden. Daraus ergibt sich: Liegt Kombination b auf einer höheren Indifferenzkurve als Kombination a und liegt c wiederum auf einer höheren Indifferenzkurve als b, dann liegt natürlich c auf einer höheren Kurve als a. Implizit geht Pareto also davon aus, dass aus c besser als b und b besser als a folgt, dass auch c besser als a ist. Das heißt: Die Präferenzen sind transitiv.

e. Pareto zeichnet gekrümmte Indifferenzkurven und zwar so, dass die „Besser-Mengen" streng konvex sind. Daraus ergibt sich, dass das Individuum ein Gut im Vergleich zu einem anderen Gut umso weniger hoch einschätzt, je mehr er von diesem Gut besitzt. In der modernen Theorie ist das die Annahme der „abnehmenden Grenzrate der Substitution". Das heißt:  Die Präferenzen sind (streng) konvex.

Hiermit sind die Grundlagen der modernen Präferenztheorie gelegt, und zwar so, wie sie heute noch gültig sind. Auf Grundlage dieser Präferenztheorie kann - wie auch Pareto schon ausgeführt hat - moderne Mikrotheorie einschließlich der Gleichgewichtstheorie durchgeführt werden. Das Konzept des Nutzens ist obsolet, das Problem der Nutzenmessung damit umgangen.

Pareto ersetzt den Vergleich von Gütern mit Hilfe des Nutzens dadurch, dass er die Güter direkt miteinander vergleicht. Die auf Pareto zurückgehende Präferenztheorie geht davon aus, dass Nutzen nicht gemessen werden kann.

Konsequenterweise heißen die Kurven mit gleich geschätzten Güterbündeln dann Indifferenzkurven und nicht Iso-Nutzen-Kurven. Sie werden nicht durch ein Nutzenkalkül, sondern durch Präferenzbetrachtungen und dabei durch die Indifferenz hergeleitet. Der Begriff Iso-Nutzen-Kurven, analog zu Isoquanten in der Produktionstheorie, würde sich dann anbieten, wenn Nutzen in gleicher Weise gemessen werden könnte, wie die Produktion, wenn also das Problem der Nutzenmessung gelöst wäre. 

Ordinale Nutzenfunktionen

Nutzenfunktionen - so wurde festgestellt - sind obsolet, relevant sind Präferenzen. Diese können im Zwei-Güter-Fall durch die „Fotografie der Wünsche", also dem Indifferenzkurvensystem, dargestellt werden. Die Kenntnis dieser Präferenzen, also im Prinzip die Einschätzung aller möglichen Güterkombinationen in direktem Vergleich zueinander - eventuell in Form einer Liste oder mit Hilfe einer Graphik ist damit zur Analyse erforderlich. Eine solche Zusammenstellung ist aber für den Fall vieler Güter sehr unhandlich. Bei messbarem Nutzen wäre das alles viel einfacher, zu jeder Güterkombination müsste nur dieser Messwert bekannt sein, diese Messung ist aber - so wird hier unterstellt - nicht möglich.

Was der Index alles kann

Pareto hat eine Lösung zu diesem Problem aufgezeigt, nämlich den der Indexierung; er schreibt in § 55:

„Jeder dieser Kombinationen ordnen wir einen Index zu, der die folgenden beiden Bedingungen erfüllt, ansonsten aber beliebig ist:

• Zwei Kombinationen, zwischen denen die Wahl indifferent ist, müssen den gleichen Index haben.
• Wird eine von zwei Kombinationen der anderen vorgezogen, so muss sie einen höheren Index haben."

Er schlägt auch gleich eine spezielle Indexierung vor, da er der Kombination 1kg Brot und 1kg Wein den Index 1 und der Kombination 1,1 kg Brot und 1,1 kg Wein den Index 1,1 zuordnet. Die nahe liegende Verallgemeinerung bei zwei Gütern besteht dann darin, jeder Kombination, die von beiden Gütern die gleiche Menge U enthält, die in der Graphik also auf der Winkelhalbierenden liegt, den Index U zu geben. Die Indifferenzkurve, die durch diesen Punkt läuft, bekommt dann insgesamt den Index k. In dieser Weise bekommt man die rot in der Graphik angegebenen Indexwerte. Eine solche Zuordnung, die jeder Güterkombination einen entsprechenden Index zuordnet, könnte man Präferenz-Index-Funktion nennen.

Es gibt aber - wie später gezeigt werden wird - auch andere Möglichkeiten einer Indexierung. Wäre Nutzen messbar, könnte man auch diese Messwerte zur Indexierung nutzen. Dann würde die Präferenz-Index-Funktion gleich der Nutzenfunktion sein. Aus diesem Grund nennt man diese Funktion ordinale Nutzenfunktion, sie ersetzt die Nutzenfunktion der Marginalisten und berücksichtigt nur die durch die Präferenzen gegebene Ordnung schlechter, gleich oder besser. 

Für die von Pareto in § 53 beispielhaft gezeichneten Indifferenzkurven soll jetzt eine Indexfunktion so entwickelt werden, dass die Forderungen von § 55 erfüllt werden. Dabei gehen wir davon aus, dass die von Pareto skizzierten Kurven Hyperbeln darstellen, also von der Form

also

sind, wobei k ein fester Parameter ist, der die Lage der Kurve festlegt und den wir jetzt bestimmen müssen. Da wegen der Forderung von § 55 die ganze Kurve den gleichen Index, insbesondere für den Wert auf der Hauptdiagonalen, muss somit gelten:

oder

Diese aus der Indexierung entstandene Nutzenfunktion entspricht den von Pareto beispielhaft gezeichneten Kurven und vorgegebenen Nutzenwerten und erfüllt die zwei von Pareto in § 55 geforderten Bedingungen.

Diese beiden Bedingungen können wir für die Güterbündel x = (x₁,x₂) und y = (y₁,y₂) in formaler Schreibweise auch so angeben:

Jede Funktion, die zu einem vorgegebenen Präferenzsystem diese beiden Bedingungen erfüllt, heißt ordinale Nutzenfunktion zur gegebenen Nutzenfunktion.

Aus der auf Pareto zurückgehenden Konstruktion ergibt sich der für die moderne Theorie wichtige Satz (vgl. [Varian 1994, S. 97]): Zu jeder vollständigen, transitiven und stetigen Präferenzrelation existiert eine ordinale Nutzenfunktion. 

Mit dieser Aussage ist sichergestellt, dass eine ordinale Nutzenfunktion existiert. Gibt es eventuell weitere zur gleichen Präferenzordnung? Welche Probleme ergeben sich, wenn die Nutzenfunktion nicht eindeutig ist? Zur Eindeutigkeit des Indexsystems hat Pareto in § 57 schon Stellung genommen:

„Es gibt unendlich viele ähnliche andere, abhängig von dem beliebig gewählten System der Indizes."

Es gibt also zu einem Präferenzsystem viele Nutzenfunktionen. Jede ist gleich gut geeignet, um als Indexsystem die Ordnung der Präferenzen widerzuspiegeln. Setzen wir nämlich zum Beispiel

so werden von jeder dieser Funktionen die gleichen Güterbündel als zu einer Indifferenzkurve gehörend gekennzeichnet, wobei jede der Funktionen die Indifferenzkurven mit einem anderen Index versieht. Dem Güterbündel (10; 10) und der ganzen dadurch verlaufenden Indifferenzkurve wird von der Nutzenfunktion U'  ein Nutzenindex von 100, von U''  ein Nutzenindex von 10 und von U''' ein Nutzenindex von 2 gegeben. Eine Nutzenfunktion gibt also nur eine ordinale Skalierung wieder.

Aus den beiden Beziehungen von Pareto ergibt sich unmittelbar: Ist eine bestimmte Funktion als ordinale Nutzenfunktion geeignet, so ist es auch jede monotone Transformation dieser Funktion.

Eine Transformation T(U) ist monoton, wenn gilt, dass aus U(x) < U(y) folgt T(U(x)) < T(U(y)).

Es ergibt sich sofort die Frage, ob mit diesem doch sehr allgemeinen Konzept einer ordinalen Nutzenfunktion überhaupt sinnvoll gearbeitet werden kann, inwieweit also zum Beispiel das Grenznutzenkonzept des letzten Kapitels genutzt werden kann. Dieser Fragestellung werden wir uns jetzt widmen. 

Als erstes bemerken wir durch partielles Ableiten der beispielhaft vorgestellten Nutzenfunktionen, dass die Grenznutzen unterschiedlich sind. Damit ist das Konzept des Grenznutzens in der ordinalen Nutzentheorie nicht sinnvoll.

Die Grenznutzenverhältnisse sind jedoch für die untersuchten Nutzenfunktionen gleich. Das kann auch allgemein gezeigt werden. Gehen zwei ordinale Nutzenfunktionen durch monotone Transformation auseinander hervor, so stimmen die Grenznutzenverhältnisse überein. Das ist nicht wirklich überraschend: Die Grenznutzenverhältnisse entsprechen der Grenzrate der Substitution, also der Steigung der Indifferenzkurven. Die Indifferenzkurven sind aber die gemeinsame Basis dieser unterschiedlichen Repräsentanten der Präferenzen des Individuums. 

Die ordinale Theorie geht nicht von den Grenznutzen, sondern von den Grenznutzenverhältnissen und damit von den gegebenen Präferenzen aus. Eine ordinale Nutzenfunktion greift das auf, was die Marginalisten als zentral für ihre Theorie erkannt hatten, jedoch mit folgenden wichtigen Unterschieden:

1. Diese Theorie verlangt, dass der Konsument Güterbündel vergleichen kann. Diese Theorie verlangt aber nicht, dass er den Nutzen von Güterbündeln angeben kann. Das Problem der Nutzenmessung ist somit umgangen worden.
2. Der Grenznutzen für Nutzenfunktionen, die das gleiche Präferenzsystem widerspiegeln, ist in aller Regel unterschiedlich. Die nach der Methode konstruierten Grenznutzenverläufe genügen nicht unbedingt dem ersten Gossenschen Gesetz. Das erste Gossensche Gesetz vom abnehmenden Grenznutzen wird ersetzt von der abnehmenden Grenzrate der Substitution. Inhaltlich besagt die abnehmende Grenzrate der Substitution, dass ich ein Gut umso weniger schätze, je mehr ich von diesem Gut besitze.
3. Das zweite Gossensche Gesetz fußt auf Grenznutzenverhältnisse und bleibt weiter gültig.

Entwickle ein Nutzengebirge - interaktiv.

Ausgehend von der Bemerkung Paretos in § 58:  „Derjenige Leser, der mit topographischen Karten gearbeitet hat, ist es gewohnt, gewisse Kurven zu zeichnen, die Punkte mit der gleichen Höhe über dem Meeresspiegel oder einem anderen Niveau repräsentieren.

Die Kurven der Abbildung sind Höhenlinien, wenn wir die Indizes der Ophelimität als Höhe der Punkte eines Hügels oberhalb der horizontal aufgefassten Fläche OAB ansehen. Er kann ein Hügel der Indizes des Vergnügens genannt werden. Es gibt unendlich viele ähnliche andere, abhängig von dem beliebig gewählten System der Indizes."

Wir folgen diesen Überlegungen von Pareto und stellen die ordinalen Nutzenfunktionen durch „Hügel der Indizes des Vergnügens" bzw. - wie sie in der modernen Theorie heißen - Nutzengebirge dar. Dies erfolgt  durch Aufruf der folgenden HTML-Seite:

Das Gelernte in Kürze

Es wurde gezeigt, dass die moderne Haushaltstheorie auf den Überlegungen von Pareto fußt. Entscheidungen von Individuen werden dabei auf Präferenzen und nicht auf messbaren Nutzen zurückgeführt. Zur Vereinfachung kann dann zu den Präferenzen eine Präferenz-Index-Funktion - die ordinale Nutzenfunktion - konstruiert werden. Diese gibt aber, dem Namen entsprechend, nur die Ordnung der Präferenzen wieder und ist darum nur bis auf eine monotone Transformation bestimmt.

Mit Hilfe einer aktiven Komponente konnten unterschiedliche Nutzengebirge zur gleichen Präferenz visualisiert werden und man konnte erkennen, dass sich diese bezüglich der Gestalt und der Grenznutzen deutlich unterschieden, dass aber der Verlauf der Indifferenzkurven und damit auch die Grenzraten der Substitution davon unberührt bleiben.

Autor

Universitätsprofessor Dr. Winfried Reiß ist seit 1983 Professor  für Volkswirtschaftslehre an der Universität Paderborn.

Literatur

[Bousquet 1971] Bousquet, George-Henri: Vilfredo Pareto (1848-1923). In: Recktenwald, Horst C. (Hrsg.): Kröners Taschenausgabe. Bd.427: Geschichte der politischen Ökonomie - Eine Einführung in Lebensbildern. Stuttgart : Kröner, 1971, S. 404-416.

[Jevons, 1923] Jevons, William. S.: Sammlung sozialwissenschaftlicher Meister. Bd. 23: Die Theorie der Politischen Ökonomie. Jena : Fischer, 1923. 

[Pareto, 1923] Pareto, Vilfredo: Manuel d'économie politique. 2. éd. Paris : Giard, 1927. - Trad. sur l'éd. italienne par Alfred Bonnet, rev. par l'auteur.

[Reiß, 2007] Reiß, Winfried: Mikroökonomische Theorie - Historisch fundierte Einführung, 6. Aufl. München: Oldenbourg, 2007. 

[Varian 1994] Varian, Hal R.: Mikroökonomie. 3., völlig überarb. und stark erw. Aufl. München: Oldenbourg, 1994 (Wolls Lehr- und Handbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften).