Sinn der Vergänglichkeit

Abschreibungen im Fokus

Insbesondere an heißen Sommertagen wird die Eismaschine einer Eisdiele stark beansprucht. Durch diese Abnutzung verliert sie an Wert. Der Unternehmer hat deswegen die Möglichkeit, die Maschine Jahr für Jahr abzuschreiben. Bilanziell gesehen verliert er dadurch Anlagevermögen. Darüber muss er allerdings nicht traurig sein, denn diese Abschreibung hilft ihm dabei, Steuern und letztendlich auch auf die Anschaffung einer neuen moderneren Eismaschine zu sparen. Welche Formen der Abschreibung ein Unternehmer wählen kann und was er beim Berechnen zu beachten hat, erklärt ein Stuttgarter Wirtschaftsmathematiker.

Von Professor Dr. Karl Bosch, Universität Hohenheim, Stuttgart

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Bei den meisten Gütern findet durch Abnutzung oder Alterung eine laufende Wertminderung statt. Daher wird jährlich eine Abschreibung vorgenommen. Diese macht aus Sicht des Unternehmers vor allem steuerlich Sinn.

Durch eine Abschreibung während eines Bilanzjahres wird der zu Jahresbeginn bestehende Bilanzwert auf den Restwert zum Jahresende reduziert. Kurz gesagt, es wird abgeschrieben. Allerdings gibt es im Rahmen dessen unterschiedliche Möglichkeiten. Auf die drei gängigsten Formen der Abschreibung soll im Folgenden genauer eingegangen werden:

• Bei der linearen Abschreibung wird innerhalb einer bestimmten Zeitspanne jährlich der gleiche Betrag abgeschrieben.
• Bei der arithmetisch-degressiven Abschreibung nimmt die Abschreibung jährlich um den gleichen Betrag ab.
• Bei der geometrisch-degressiven Abschreibung wird in jedem Jahr der gleiche Prozentsatz vom jeweiligen Restwert aus dem Vorjahr abgeschrieben. 

Aus dem Blickwinkel eines Finanzmathematikers spielen bei der Herleitung anwendungsorientierter Formeln insbesondere arithmetische und geometrische Folgen und Reihen eine wichtige Rolle.

Linear: Jahr für Jahr den gleichen Betrag abschreiben

Bei Gütern mit nicht allzu großem Anschaffungswert wird während der gesamten Abschreibungsphase von N Jahren der Kaufpreis A in gleichen Jahresraten auf den Restwert R abgeschrieben. Im Falle R=0 handelt es sich um eine vollständige Abschreibung. Der jährliche Abschreibungsbetrag lautet:

Für n=1,2,...,N beträgt der Restwert (Bilanzwert) am Ende des n-ten Jahres folglich:

Die Restwerte bilden den Anfang einer arithmetischen Folge mit der Differenz:

Die lineare Abschreibung ist finanzmathematisch gesehen nicht sehr kompliziert. Etwas anspruchsvoller ist im Vergleich dazu die arithmetisch-degressive Abschreibung.

Arithmetisch-degressiv: Jahr für Jahr weniger abschreiben

Bei der arithmetisch-degressiven Abschreibung nehmen die Abschreibungsbeträge jedes Jahr um den gleichen Wert d ab. Sie bilden also eine monoton fallende arithmetische Folge. Diese ist dann durch die Abschreibung a im ersten Jahr bestimmt. Für n=1,2,...,N lautet die Abschreibung im n-ten Jahr:

Indes dürfen a und d allerdings nicht beliebig gewählt werden. Beide Werte müssen positiv sein. Ferner muss gewährleistet sein, dass alle Abschreibungswerte positiv sind. Dafür gibt es Bedingungen, die beachtet werden müssen:

Damit die Abschreibungen vom Anschaffungswert A nach N Jahren den Restwert R ergeben, muss die Summe aller n Abschreibungsbeträge gleich

sein, also:

Hieraus folgt:

d ist nur dann positiv, wenn gilt:

Eine arithmetisch-degressive Abschreibung von A auf R in N Jahren ist also höchstens dann möglich, wenn der erste Abschreibungsbetrag a größer als der konstante Abschreibungsbetrag bei der linearen Abschreibung ist. Der letzte Abschreibungsbetrag im N-ten Jahr lautet:

Auch dieser Abschreibungsbetrag muss positiv sein muss. Damit erhält man die zweite Bedingung

Die erste Abschreibung a einer arithmetisch-degressiven Abschreibung muss also folgende Bedingung erfüllen:

Ein Spezialfall

Die digitale Abschreibung ist ein Spezialfall der arithmetisch-degressiven Abschreibung. Dabei muss die letzte Abschreibung mit dem Abschreibungsgefälle übereinstimmen, also mit:

Hier erhält man durch elementare Rechnung

Geometrisch-degressiv: Beliebig lang abschreiben

Bei der linearen Abschreibung wird jedes Jahr der gleiche Betrag abgeschrieben. Prozentual wird die Abschreibung allerdings laufend größer. Im ersten Jahr wird prozentual am wenigsten, im letzten Jahr prozentual am meisten abgeschrieben. Bei einer vollständigen Abschreibung auf R=0 werden im letzten Jahr sogar 100 Prozent des Vorjahreswertes abgeschrieben.

Bei der geometrisch-degressiven Abschreibung wird in jedem Jahr p Prozent vom Restwert aus dem Vorjahr abgeschrieben. Diese Abschreibungsart wird häufig bei hochwertigen Gütern benutzt. Im Gegensatz zur linearen Abschreibung kann diese Abschreibung beliebig lang fortgesetzt werden. In jedem Jahr erhält man den neuen Bilanzwert durch Multiplikation des Bilanzwertes aus dem Vorjahr mit dem konstanten Faktor:

Die Restwerte bilden eine geometrische Folge mit 

für n=1,2,...

Für p<100 sind alle Restwerte positiv. Im Falle 0<p werden die Restwerte jedoch beliebig klein, wenn n nur groß genug ist.

Aus der obigen Gleichung kann das minimale N so bestimmt werden, dass für den Restwert erstmals ein vorgegebener Wert K unterschritten wird. Logarithmieren der Ungleichung

ergibt das minimale N aus:

Gibt man die Laufzeit N mit einem Restwert

vor, so erhält man durch Wurzelziehen den zugehörigen Zinssatz

Übergang möglich: von geometrisch-degressiv auf linear

Nach dem Steuergesetz ist auch ein Wechsel der Abschreibungsart möglich. Ein Gut mit dem Anschaffungswert A soll M Jahre lang geometrisch-degressiv mit jeweils p Prozent vom Restwert abgeschrieben werden, in den nachfolgenden

Jahren soll eine lineare Abschreibung auf 0 erfolgen. Der Restwert am Ende der geometrisch-degressiven Abschreibung beträgt:

Dieser Restbetrag wird in weiteren

Jahren auf Null abgeschrieben mit einer jährlichen Abschreibungsrate:

Eine Weiterführung der geometrisch degressiven Abschreibung ergäbe im (M+1)-ten Jahr den Abschreibungsbetrag:

Ein Übergang von der geometrisch-degressiven zur linearen Abschreibung ist aus steuerlichen Gründen erst dann sinnvoll, wenn sich dadurch die jährlichen Abschreibungsbeträge sofort erhöhen. Als Bedingung für einen vorteilhaften Wechsel ergibt sich damit:

Hieraus folgt:

Dabei ist das M minimal zu wählen.

Autor

Professor Dr. Karl Bosch lehrte am Institut für Angewandte Mathematik und Statistik der Stuttgarter Universität Hohenheim Wirtschaftsmathematik.

Literatur

K. Bosch: Finanzmathematik, Oldenbourg, 7. Auflage 2007.